\section{问题求解}

\subsection{问题一的建模与求解}
对于问题一, 本文将先从理想状态下的线性模型\ref{q1,1}出发, 即假设当前支路$i$ ($i=1,2$)上的流量都与历史数据一样, 是(分段)线性的, 计算各支路车流量的含参表达式, \ref{q1,2}将利用两条支路每时刻流量差的平方和最小来确定参数
\subsubsection{理想状态下的线性模型}\label{q1,1}
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题 一 的符号说明}
	\vspace{1pt}
	\label{question1-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{符号} & \makebox[0.5\textwidth]{含义} \\
			\midrule
			$Q_3$ & 主路$3$上的车流量 \\
			$Q_i,\quad(i=1,2)$ & 支路$i$上的车流量 \\
			$b_i,\quad(i=1,2)$ & 支路$i$上$t=0$时刻的车流量 \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}

由历史车流观测记录, 不妨假设当前支路$1$上的车流量也满足一个线性增长的函数; 支路$2$的车流量也满足一个先线性增长, 后线性减少的函数. 那么可设支路$1$上的车流量$Q_1$与时间$t$满足如下关系:
\begin{align*}
	Q_1(t)=k_1t+b_1,\quad (k_1, b_1>0,\,0\leqslant t\leqslant 59).
\end{align*}
支路$2$上车流量$Q_2$与时间$t$满足如下关系:
\begin{equation}\label{eq1-q2}
\begin{split}
	Q_2(t)=&\begin{cases}
		k_2 t+b_2,&0\leqslant t<t_0;\\
		\widetilde{k_2}(t-t_0)+(b_2+k_2t_0),&t_0\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases}\\
	=&\begin{cases}
		k_2 t+b_2,&0\leqslant t<t_0;\\
		\widetilde{k_2}t+(b_2+k_2t_0-\widetilde{k_2}t_0),&t_0\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases}\quad(k_2,b_2>0,\,\widetilde{k_2}<0)
	\end{split}
\end{equation}
其中$t_0$为支路$2$上的车流量由线性增长转变为线性减少的时刻.
注意到总假设\ref{zjs2}指出道路为单向的, 那么\eqref{eq1-q2}因满足$Q_2(59)\geqslant 0$, 即
\begin{align}\label{eq1-restrict1}
	59\widetilde{k_2}+b_2+\left(k_2-\widetilde{k_2}\right)t_0\geqslant0.
\end{align}

由总假设\ref{zjs1}, 可设主路$3$上的车流量$Q_3=Q_1+Q_2$满足分段线性关系如下:
\begin{align}\label{eq1-1}
	Q_3(t)=\begin{cases}
		(k_1+k_2)t+(b_1+b_2),&0\leqslant t< t_0;\\
		(k_1+\widetilde{k_2})t+(b_1+b_2+k_2t_0-\widetilde{k_2}t_0),&t_0\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases}
\end{align}
其中$k_1,k_2,b_1,b_2>0,\,\widetilde{k_2}<0$与前文一致, 下面将不再赘述.

\eqref{eq1-1}表明了$Q_3$是一个先线性增长直至时间达到$t=t_0$, 后线性(增长、减少或平稳, 这取决于$k_1+\widetilde{k_2}$的值)的函数. 由附件表1, 明显观察到主路$3$上的车流$Q_3$严格满足间隔时间$\Delta t=1$的离散线性关系, 那么可设$Q_3$的函数为:
\begin{align}\label{eq1-2}
	Q_3(t)=\begin{cases}
		1.5t+7,&0\leqslant t<30;\\
		-0.5t+67,&30\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases}
\end{align}

比较\eqref{eq1-1}与\eqref{eq1-2}, 有如下关系:
\begin{align*}
	\begin{cases}
		k_1+k_2=1.5\\
		k_1+\widetilde{k_2}=-0.5\\
		t_0=30\\
		b_1+b_2=7\\
		b_1+b_2+k_2t_0-\widetilde{k_2}t_0=67
	\end{cases}\Rightarrow
	 \begin{pmatrix}
		1&1&0&0&0\\
		1&0&1&0&0\\
		0&1&-1&0&0\\
		0&0&0&1&1
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		k_1\\k_2\\\widetilde{k_2}\\b_1\\b_2
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
		1.5\\-0.5\\2\\7
	\end{pmatrix}
\end{align*}
解得
\begin{align*}
	\begin{pmatrix}
	k_1 \\k_2 \\\widetilde{k_2}\\b_1 \\b_2
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
	1.5 \\0 \\ - 2\\7 \\0
	\end{pmatrix}+c_1
	\begin{pmatrix}
	-1 \\1 \\1\\0 \\0
	\end{pmatrix}+c_2
	\begin{pmatrix}
	0 \\0 \\0\\-1 \\1
	\end{pmatrix}=
	\begin{pmatrix}
		1.5-c_1\\ c_1\\ c_1-2\\ 7-c_2\\ c_2
	\end{pmatrix},\quad c_1,c_2\in\mathbb R.
\end{align*}
注意到$c_1,c_2$应被\eqref{eq1-restrict1}限制, 且符合上文中的系数正负关系, 即
\begin{align*}
	59(c_1-2)+c_2+60\geqslant 0 \Rightarrow & 59 c_1+c_2\geqslant 58,\\
	1.5-c_1\geqslant 0, c_1\geqslant 0\Rightarrow & 0\leqslant c_1\leqslant1.5,\\
	c_1-2\leqslant 0\Rightarrow & c_1\leqslant 2,\\
	7-c_2\geqslant 0, c_2\geqslant 0\Rightarrow & 0\leqslant c_2\leqslant 7.
\end{align*}

从而得到理想的线性含参结论:
\begin{equation*}
\begin{split}
	Q_1(t;c_1,c_2)=&(1.5-c_1)t+(7-c_2),\\
	Q_2(t;c_1,c_2)=&
	\begin{cases}
		c_1t+c_2,&0\leqslant t< 30;\\
		(c_1-2)t+(c_2+60),&30\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases}
\end{split}
\end{equation*}
参数限制在梯形区域
\begin{align*}
	S: 0\leqslant c_1\leqslant 1.5,\,\,0\leqslant c_2\leqslant 7,\,\,59 c_1+c_2\geqslant 58.
\end{align*}

\subsubsection{寻找合适参数}\label{q1,2}
现在我们在限制上选取合适的参数参数, 这里我们希望确定的参数$c_1^\star,c_2^\star $能使得每时刻两条支路偏差的平方和最小 (实际意义为希望两条支路上的车流量差异较小, 这是合理的, 由于实际生活中人们往往会选择流量较少的路), 即
\begin{align*}
	\sum_{t=0}^{59}\left[Q_1\left(t;c_1^\star,c_2^\star\right)-Q_2\left(t;c_1^\star,c_2^\star\right)\right]^2=\min_{(c_1,c_2)\in S}\sum_{t=0}^{59}\left[Q_1\left(t;c_1,c_2\right)-Q_2\left(t;c_1,c_2\right)\right]^2.
\end{align*}

注意到
\begin{align*}
	&\dfrac{\partial}{\partial c_1}\sum_{t=0}^{59}\left[Q_1\left(t;c_1,c_2\right)-Q_2\left(t;c_1,c_2\right)\right]^2=\sum_{t=0}^{59}\dfrac{\partial}{\partial c_1}\left[Q_1\left(t;c_1,c_2\right)-Q_2\left(t;c_1,c_2\right)\right]^2\\
	=&2\sum_{t=0}^{29}[(1.5-2c_1)t+(7-2c_2)]\cdot(-2t)+2\sum_{t=30}^{59}[(3.5-2c_1)t+(-53-2c_2)]\cdot(-2t).
\end{align*}
\begin{align*}
	&\dfrac{\partial}{\partial c_2}\sum_{t=0}^{59}\left[Q_1\left(t;c_1,c_2\right)-Q_2\left(t;c_1,c_2\right)\right]^2=\sum_{t=0}^{59}\dfrac{\partial}{\partial c_2}\left[Q_1\left(t;c_1,c_2\right)-Q_2\left(t;c_1,c_2\right)\right]^2\\
	=&2\sum_{t=0}^{29}[(1.5-2c_1)t+(7-2c_2)]\cdot(-2)+2\sum_{t=30}^{59}[(3.5-2c_1)t+(-53-2c_2)]\cdot(-2).
\end{align*}
我们得到方程组
\begin{align*}
	\begin{cases}
		\sum\limits_{t=0}^{29}[(1.5-2c_1)t^2+(7-2c_2)t]+\sum\limits_{t=30}^{59}[(3.5-2c_1)t^2+(-53-2c_2)t]=0\\
		\sum\limits_{t=0}^{29}[(1.5-2c_1)t+(7-2c_2)]+\sum\limits_{t=30}^{59}[(3.5-2c_1)t+(-53-2c_2)]=0
	\end{cases}
\end{align*}
化简后的方程组为
\begin{align*}
\begin{cases}
	-140420c_1-3540c_2+160915=0\\
	-3540c_1-120c_2+3945=0
\end{cases}
	\Rightarrow (c_1,c_2)=\left(\dfrac{17815}{14396},-\dfrac{443}{122}\right).
\end{align*}
这说明最小值点$(c_1^\star,c_2^\star)$出现在$\partial S$上.记
\begin{align*}
	Q(c_1,c_2):=&\sum\limits_{t=0}^{59}\left[Q_1\left(t;c_1,c_2\right)-Q_2\left(t;c_1,c_2\right)\right]^2\\
	=&\sum_{t=0}^{29}\left[\left(1.5-2c_1\right)t+\left(7-2c_2\right)\right]^2+\sum_{t=30}^{59}\left[\left(3.5-2c_1\right)t+\left(-53-2c_2\right)\right]^2.
\end{align*}
注意到
\begin{align*}
	Q(c_1,58-59c_1)=&\sum_{t=0}^{29}\left[\left(1.5-2c_1\right)t+\left(118c_1-109\right)\right]^2\\
	&+\sum_{t=30}^{59}\left[\left(3.5-2c_1\right)t+\left(118c_1-169\right)\right]^2\\
	=&280840c_1^2-533920c_1+266232.5
\end{align*}
从而有边界上(不含端点)的最小值如下
\begin{align*}
	\min_{\substack{\frac{51}{59}< c_1<\frac{58}{59}\\c_2=58-59c_1}}Q(c_1,c_2)=Q\left(\dfrac{6674}{7021} ,\dfrac{228}{119} \right)\approx12466.50655
\end{align*}
类似的我们可以有
\begin{align*}
	Q(c_1,0)=&\sum_{t=0}^{29}\left[\left(1.5-2c_1\right)t+7\right]^2+\sum_{t=30}^{59}\left[\left(3.5-2c_1\right)t-53\right]^2\\
	=&280840c_1^2-643660c_1+374112.5
\end{align*}
\begin{align*}
	Q(c_1,7)=&\sum_{t=0}^{29}\left[\left(1.5-2c_1\right)t-7\right]^2+\sum_{t=30}^{59}\left[\left(3.5-2c_1\right)t-67\right]^2\\
	=&280840c_1^2-544540c_1+275412.5
\end{align*}
\begin{align*}
	Q(1.5,c_2)=&\sum_{t=0}^{29}\left[-1.5t+\left(7-2c_2\right)\right]^2+\sum_{t=30}^{59}\left[0.5t+\left(-53-2c_2\right)\right]^2\\
	=&240c_2^2+5460c_2+40512.5
\end{align*}
从而有剩余边界上(不含端点)的最小值如下:
\begin{align*}
	\min_{\substack{\frac{58}{59}<c_1<1.5\\c_2=0}}Q(c_1,c_2)=Q\left(\dfrac{32183}{28084} ,0\right)\approx Q(1.15,0)\approx 5314.4
\end{align*}
\begin{align*}
	\min_{\substack{\frac{51}{58}<c_1<1.5\\c_2=7}}Q(c_1,c_2)=Q\left(\dfrac{27227}{28084},7\right)\approx Q(0.97,7)\approx11450.98134
\end{align*}
\begin{align*}
	\min_{\substack{c_1=1.5\\0<c_2<7}}Q(c_1,c_2)\text{不存在.}
\end{align*}
计算各端点处值:
\begin{align*}
	&Q\left(\dfrac{58}{59},0\right)\approx 12762.66949,& &Q\left(\dfrac{51}{59},7\right)\approx14551.82203,\\
	&Q(1.5,7)\approx 90492.5,&&Q(1.5,0)\approx 40512.5.
\end{align*}
这样$(c_1^\star,c_2^\star)=(1.15,0)$即可.

\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题一支路车流量函数表达式}
	\vspace{1pt}
	\label{answer1-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.5\textwidth]{支路$2$} \\
			\midrule
			$Q_1(t)=0.35t+7$ & $Q_2(t)=\begin{cases}
				1.15t, &0\leqslant t<30;\\
				-0.85t+60, &30\leqslant t \leqslant 59.
			\end{cases}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}

\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{figure tang/1wencanshu.jpg}
	%\includegraphics{figures/question1-1}
	%\includegraphics [width=0.8\textwidth]{figures/question1-1}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题一参数可行域与最后结果视图}
	\label{fig:eq1-1}
\end{figure}

\subsection{问题二的建模与求解}

\subsubsection{消去时间差}
问题二中提及假设``车辆从支路$1$和支路$2$的路口形式到设备$A2$处的时间为$2$分钟, 车辆从支路$3$和支路$4$的路口到达设备$A2$处的行驶时间忽略不计''. 为了消除这两分钟的时间差异, 我们新定义支路$0$为主路上的一部份, 从支路$1$, $2$在主路上的汇入口开始到支路$3$, $4$在主路的汇入口结束. 这样主路$5$可以不影响结论得修改定义为支路$0$, $3$, $4$汇入后的部分. 参考图\ref{fig:eq2-1}.
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.2\textwidth]{figure tang/2wenmoxing.jpg}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题二模型处理}
	\label{fig:eq2-1}
\end{figure}

\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题 二 的符号说明}
	\vspace{1pt}
	\label{question2-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{符号} & \makebox[0.5\textwidth]{含义} \\
			\midrule
			$Q_5$ & 主路$5$上的车流量 \\
			$Q_i,\quad(i=0,\cdots,4)$ & 支路$i$上的车流量 \\
			$b_i,\quad(i=0,\cdots,4)$ & 支路$i$上$t=0$时刻的车流量 \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}
这样一来, 可以得到一下直接结论:
\begin{enumerate}
	\item 支路$0$的车流量由支路$1$, $2$决定;
	\item 由历史车流量观测记录可知: 支路$0$的车流量在$[6:58,7:50]$和$[8:16,8:58]$时间段内线性增长, 在$(7:50,8:16)$时间段内稳定;
	\item 支路$0$, $3$, $4$同时汇入主路$5$, 且汇入后到$A2$处的行驶时间忽略不计.
\end{enumerate}
\subsubsection{确定含参模型}
注意到$Q_3(t), Q_0(t)$都是非减的函数, 而$Q_5(t)=Q_0(t)+Q_3(t)+Q_4(t)$, 因此可以断言$Q_5(t)$中减少变化仅仅由$Q_4(t)$所决定.

现在先把$Q_0(t)$, $Q_3(t)$的形式给出:
\begin{align}\label{eq2-1}
	Q_0(t)=\begin{cases}
		k_0t+b_0,&0\leqslant t\leqslant 25;\\
		25k_0+b_0,&25<t<38;\\
		\widetilde{k_0}(t-38)+25k_0+b_0,& 38\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases}\quad(k_0,\widetilde{k_0},b_0>0)
\end{align}
\begin{align}\label{eq2-2}
	Q_3(t)=\begin{cases}
		k_3t+b_3,&0\leqslant t\leqslant t_0;\\
		k_3t_0+b_3,&t_0<t\leqslant59.
	\end{cases}\quad(k_3,b_3>0, \,0<t_0<59)
\end{align}
\eqref{eq2-2} 中$t_0$为支路$3$的流量由线性增长转变为稳定的时间点, 是待定的. 下面来断言这个$t_0$为$17$.

记$\Delta_t=Q_5(t)-Q_5(t-1)$. 注意到
\begin{align*}
	\begin{cases}
		\Delta_1=\cdots=\widehat{\Delta_6}=\cdots=\widehat{\Delta_{14}}=\cdots=\Delta_{17}=1.6;\\
		\Delta_{19}=\cdots=\Delta_{25}=0.6;\quad\Delta_{27}=\cdots=\widehat{\Delta_{34}}=\cdots=\Delta_{38}=0;\\
		\Delta_{39}=\cdots=\widehat{\Delta_{42}}=\cdots=\widehat{\Delta_{46}}=\cdots=\widehat{\Delta_{54}}=\cdots=\Delta_{59}=0.4
	\end{cases}
\end{align*}
其中$\widehat{\cdot}$表示去除这一项.
\begin{align*}
	\begin{cases}
		\Delta_6=12.6,\Delta_{14}=-12.4,\Delta_{18}=14.6,\Delta_{26}=-11;\\
		\Delta_{34}=11,\Delta_{42}=-13.6,\Delta_{46}=14.4,\Delta_{54}=-10.6.
	\end{cases}
\end{align*}
注意到$t_0<25$, 如若不然, 则$\Delta_{19}=\cdots=\Delta_{25}=1.6$. 因此现在$t_0$的值可以确定在$17$或$18$上. 同时$k_0=0.6$, $k_3=1$, $\widetilde{k_0}=0.4$都是显然的. 

若$t_0=18$, 记去掉$\Delta_i$中由$Q_0$, $Q_3$变化(增长)所赋予的部分值后为$\Delta_i^\prime$. 那么
\begin{align*}
		\begin{cases}
		\Delta_6^\prime=11,\Delta^\prime_{14}=-14,\Delta^\prime_{18}=13,\Delta^\prime_{26}=-11;\\
		\Delta^\prime_{34}=11,\Delta^\prime_{42}=-14,\Delta^\prime_{46}=14,\Delta^\prime_{54}=-11;\\
		\text{除去上述$8$个, 剩余所有$\Delta_i=0$.}
	\end{cases}
\end{align*}
注意$\Delta^\prime_{18}$的值, 这显然不合理. 因此可以断言$t_0=17$.

这样一来
\begin{align*}
	Q_0(t)=\begin{cases}
		0.6t+b_0,&0\leqslant t\leqslant 25;\\
		15+b_0,&25<t<38;\\
		0.4t+b_0-0.2,&38\leqslant t\leqslant 59.
	\end{cases},\quad
	Q_3(t)=\begin{cases}
		t+b_3,&0\leqslant t\leqslant 17;\\
		17+b_3, &17<t\leqslant 59.
	\end{cases}
\end{align*}
且$Q_4(t)=b_4 +f(t)$, 其中 $f(t)$为一连续的周期函数, 满足最小周期为$28$, 一个最小周期内过下列点
\begin{align*}
	(i,11),& i=6,\cdots,13,18,\cdots,25;\\
	(j,-3),& j=14,\cdots,17;\\
	(k,0),& k=0,\cdots,5,26,27.
\end{align*}
这里我们对其进行三角级数插值, 采用离散Fourier变换(DFT)来处理插值系数\textsuperscript{\cite{a1}}:
\begin{align}\label{eq2-dft}
	f(t)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{13}\left[a_n\cos\left(\dfrac{n\pi t}{14}\right)+b_n\sin\left(\dfrac{n\pi t}{14}\right)\right]+a_{14}\cos(\pi t).
\end{align}
其中系数(做了四舍五入保留两位的近似)如下表\ref{question2-2}所示 
%,由Python代码计算, 源码见附录. 
(可以保留更多位数系数, 从而有更高的精确度, 现在由于篇幅问题本文保留两位, 但这使得在插值点处存在大约$\pm 0.02$的误差, 读者在使用时应当注意.)
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{$f(t)$的系数}
	\vspace{1pt}
	\label{question2-2}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cccccccccccccc}
			\toprule[1.5pt]
			$a_0$ & $a_1$ &$a_2$ & $a_3$ & $a_4$ & $a_5$ & $a_6$ & $a_7$ & $a_8$ & $a_9$ & $a_{10}$ & $a_{11}$ & $a_{12}$ &$a_{13}$  \\
			\midrule
			$11.71$ & $-1.52$ &$-5.44$ &$1.02$ & $-0.33$ & $-0.33$ & $-0.13$ &  $0$ & $0.21$ & $1.82$ & $-0.69$ & $0.57$ & $-0.99$ &$-0.06$  \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
		
	}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cccccccccccccc}
			\toprule[1.5pt]
			$a_14$ & $b_1$ &$b_2$ & $b_3$ & $b_4$ & $b_5$ & $b_6$ & $b_7$ & $b_8$ & $b_9$ & $b_{10}$ & $b_{11}$ & $b_{12}$ & $b_{13}$  \\
			\midrule
			$0$ & $-0.53$ &$-4.34$ & $1.63$ & $-1.42$ & $2.89$ & $0.26$ & $0$ & $-0.1$ & $-0.2$ & $-0.16$ & $0.36$ & $-1.24$ & $-0.17$  \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
		
	}
\end{table}

由于$Q_2(t)=Q_0(t+1)-b_1$从而我们现在有含参结论:
%b_0-b_1=b_2-0.6
\begin{align*}
	Q_1(t)=b_1;\quad Q_2(t)=\begin{cases}
		0.6t+b_2, &0\leqslant t\leqslant 24;\\
		15+b_2-0.6,& 24<t<37;\\
		0.4t+b_2-0.4,&37\leqslant t\leqslant59.
	\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
	Q_3(t)=\begin{cases}
		t+b_3,&0\leqslant t\leqslant 17;\\
		17+b_3,&17<t\leqslant 59.
	\end{cases};\quad
	Q_4(t)=b_4+f(t), \text{$f(t)$见\eqref{eq2-dft}}.
\end{align*}
参数限制为$Q_1(0)+Q_2(0)+Q_3(1)+Q_4(1)=34.1$, 即:
\begin{align*}
	\sum_{i=1}^4b_i=33.1;\quad b_j\geqslant 0, \forall j=1,2,3;\quad 
	b_4\operatorname{s.t.}Q_4\geqslant 0, \forall t.
\end{align*}

\subsubsection{寻找合适参数}
在寻找合适的参数之前, 为了使接下来的操作简单一点, 先简化参数$b_i$限制的区域为:
\begin{align*}
	S:\sum_{i=1}^4b_i=33.1\,\,\text{且}\,\, b_j\geqslant 0, \forall j=1,2,3\,\,\text{且}\,\, b_4\geqslant 3.
\end{align*}
令
\begin{align*}
	M_t=\dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^4 Q_i(t),\quad
	G_t=\dfrac{1}{4}\sum_{i=1}^4\left[Q_i(t)-M_t\right]^2.
\end{align*}
通过令$\sum\limits_{t=0}^{59}G_t$达到最小来求解参数.由于$Q_i$表达式的特殊结构, 可以令$Q_i(t)=b_i+c_i(t)$, 其中$c_i(t)$中不含参数$b_i$. 

$\sum\limits_{t=0}^{59}G_t$对$b_j$求偏导有:
\begin{equation}\label{eq2-res1}
	\begin{split}
	\dfrac{\partial}{\partial b_j}\sum_{t=0}^{59}G_t=&\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}\sum_{i=1}^4\left[Q_i(t)-M_t\right]\left\{\dfrac{\partial}{\partial b_j}[b_i+c_i(t)]-\dfrac{\partial M_t}{\partial b_j}\right\}\\
	=&\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}\sum_{i=1}^4\left[Q_i(t)-M_t\right]\left(\delta_{ij}-\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^4\delta_{kj}\right)
\end{split}
\end{equation}
对一个固定的$k$, 上式等于
\begin{equation}\label{eq2-res2}
\begin{split}
	\eqref{eq2-res1}=&\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}[Q_j(t)-M_t]-\dfrac{1}{8}\sum_{t=0}^{59}\sum_{i=1}^4[Q_i(t)-M_t]\\
	=&\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}\left\{b_j+c_j(t)-\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^4[b_k+c_k(t)]\right\}
\end{split}
\end{equation}
注意到$Q_1(t)\approx Q_1(t+1)$, $Q_2(t)\approx Q_2(t+1)$. 那么
\begin{align}\label{eq2-res3}
	\sum_{k=1}^4[b_k+c_k(t)]=\sum_{k=1}^4Q_k(t)\approx Q_5(t)
\end{align}
这样一来$Q_5(t)$对$t$求和是简单的, 即$\sum\limits_{t=0}^{59}Q_5(t)=3942.4$. 从而\eqref{eq2-res2}可以近似化简为
\begin{equation}\label{eq2-res4}
	\begin{split}
		\eqref{eq2-res2}\approx 30b_j+\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}c_j(t)-492.8
	\end{split}
\end{equation}
令
\begin{align*}
	0=\dfrac{\partial}{\partial b_j}\sum_{t=0}^{59}G_t\approx30b_j+\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}c_j(t)-492.8
\end{align*}
从而
\begin{align}\label{eq2-b_j}
	b_j^\star\approx\dfrac{1}{30}\left[492.8-\dfrac{1}{2}\sum_{t=0}^{59}c_j(t)\right].
\end{align}
注意到有下式:
\begin{align*}
	\sum_{t=0}^{59}c_1=0,\quad\sum_{t=0}^{59}c_2=785.2,\quad\sum_{t=0}^{59}c_3=867,\quad\sum_{t=0}^{59}c_4=328.
\end{align*}
从而得到一组合适的值
\begin{align}\label{eq2-b_j(2)}
	(b_1^\star,\cdots,b_4^\star)\approx(16.42,3.34,1.97,10.93)
\end{align}
这样找到的一组值是近似满足限制$S$的, 即
\begin{align*}
	\sum_{i=1}^4b_i^\star=32.66\approx33.1
\end{align*}
存在近似误差的原因在于\eqref{eq2-res3}的近似是存在误差的, 现在给出精确值\eqref{eq2-res2}和近似值\eqref{eq2-res4}间的绝对误差.
\begin{align*}
	\eqref{eq2-res2}-\eqref{eq2-res4}=\dfrac{1}{8}[Q_1(-1)+Q_2(-1)-Q_1(59)-Q_2(59)]\approx \dfrac{1}{8}\cdot (2.74-26.54)=-2.975
\end{align*}
上式中$Q_1(-1)$与$Q_2(-1)$可由\eqref{eq2-b_j(2)}所得到的函数(见表\ref{answer2-1})的自然延拓所得.

这说明在\eqref{eq2-b_j}式中得到的$b_j^\star$会约有$-2.975/30\approx-0.099$的误差.(注意, 这里的误差也是不精准的, 因为本文在计算该误差中用了由\eqref{eq2-b_j(2)}所得到的函数, 而其本身也是不准确的.)

现在在计算$t=15$和$t=45$的值, 有
\begin{align*}
	Q_1(15)=16.42,\quad Q_2(15)=12.34,\quad Q_3(15)=16.97,\quad Q_4(15)=7.93.\\
	Q_1(45)=16.42,\quad Q_2(45)=20.94,\quad Q_3(45)=18.97,\quad Q_4(45)=7.93.
\end{align*}
注意到
\begin{align*}
	16.42+12.34+16.97+7.93=53.66\approx Q_5(15)=53.5;\\
	16.42+20.94+18.97+7.93=64.26\approx Q_5(45)=64.3.
\end{align*}
因此最后结论进行微调(消除\eqref{eq2-res3}的近似所带来的误差), 调整后的结论如下:
\begin{align*}
	Q_1(15)=16.4,\quad Q_2(15)=12.3,\quad Q_3(15)=16.9,\quad Q_4(15)=7.9;\\
	Q_1(45)=16.4,\quad Q_2(45)=21.0,\quad Q_3(45)=19.0,\quad Q_4(45)=7.9.
\end{align*}
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题二支路车流量函数表达式}
	\vspace{1pt}
	\label{answer2-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.5\textwidth]{支路$2$} \\
			\midrule
			$Q_1(t)=16.42$ & $Q_2(t)=\begin{cases}
				0.6t+3.34,&0\leqslant t\leqslant 24;\\
				17.74,&24<t<37;\\
				0.4t+2.94,&37\leqslant t\leqslant 59.
			\end{cases}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{支路$3$} & \makebox[0.5\textwidth]{支路$4$} \\
			\midrule
			$Q_3(t)=\begin{cases}
				t+1.97,&0\leqslant t\leqslant 17;\\
				18.97,&17<t\leqslant 59.
			\end{cases}$ & $Q_4(t)=10.93+f(t),\quad f(t)\,\text{见}\,\eqref{eq2-dft}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}

\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题二支路车流量数值}
	\vspace{1pt}
	\label{answer2-2}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{ccccc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.1\textwidth]{时刻} & \makebox[0.2\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.2\textwidth]{支路$2$} & \makebox[0.2\textwidth]{支路$3$} & \makebox[0.2\textwidth]{支路$4$} \\
			\midrule
			$7:30$&$16.4$& $12.3$& $16.9$& $7.9$ \\
			$8:30$&$16.4$& $21.0$& $19.0$& $7.9$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{figure tang/wenti2keshihua.png}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题二可视化分解}
	\label{fig:eq2}
\end{figure}

\subsection{问题三的建模与求解}
对于问题三, 本文先将附件中作提供的离散信息处理, \ref{q3.1}给出了分解离散信息的详细过程. 随后\ref{q3.2}运用最小二乘法拟合得到二次函数.
\subsubsection{分解离散信息}\label{q3.1}
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题 三 的符号说明}
	\vspace{1pt}
	\label{question3-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{符号} & \makebox[0.5\textwidth]{含义} \\
			\midrule
			$Q_i^\prime,\quad(i=1,2)$ & 支路$i$上的车流量 \\
			$Q_i,\quad(i=1,2)$ & 源于支路$i$的车在$A3$处的车流量 \\
			$Q_i,\quad(i=3,4)$ & 支路$3$, 主路$4$上的车流量 \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}

\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.25\textwidth]{figure tang/3wenmoxing.jpg}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题三的模型处理}
	\label{fig:eq3-1}
\end{figure}
基于表\ref{question3-1}和图\ref{fig:eq3-1}以及题目信息, 显然有
\begin{align}\label{eq3-tran}
	Q_i(t)=Q^\prime_i(t-1),\quad(\forall i=1,2).
\end{align}
那么由历史车流量观测记录知, $Q_1$的变化为:
\begin{center}
	无车流量$\longrightarrow$ 增长 $\longrightarrow$ 减少 $\longrightarrow$ 稳定 $\longrightarrow$ 减少直至为$0$
\end{center}
$Q_2(t)$的变化为:
\begin{center}
	$0\leqslant t\leqslant 36$上线性增长; $36<t\leqslant 48$上稳定; $48<t\leqslant 59$上线性减少.
\end{center}

不难有红灯时间为:
\begin{align*}
t\in\left([0,3]\cup[9,12]\cup[18,21]\cup[27,30]\cup[36,39]\cup[45,48]\cup[54,57]\right)\cap \mathbb Z
\end{align*}
剩余的时间点变为绿灯(这里是指的都是离散的).

由于$[0,3]$内是红灯, 即在这个时刻内$Q_3$不为$Q_4$的流量做贡献. 同样的, 由于$Q_1$的特点是先无车流量, 故可断言$[0,3]$内$Q_1=0$, 即$Q_4=Q_2$. 那么我们得到
\begin{align*}
	Q_2(0)=0.8,\quad Q_2(1)=2,\quad Q_2(2)=3.2,\quad Q_2(3)=4.4
\end{align*}
不难发现其实线性的, 那么这样的断言是合理的, 如若不然则其一定不是线性的. 这是由$Q_4|_{t=0,1}$一定受$Q_1$影响.

这样我们变得到了$Q_2$线性增长的部分, 即
\begin{align*}
	Q_2(t)=0.8+1.2t,\quad 0\leqslant t\leqslant 36.
\end{align*}
且$Q_2(36)=44$, 这足以得到$Q_2$平稳段的部分
\begin{align*}
	Q_2(t)=44,\quad 36<t\leqslant 48.
\end{align*}

注意到$Q_4(t)=44$对任意的$t=45,\cdots,48$都成立, 有由于$t=45,\cdots,48$为红灯时间点. 这表明$Q_1(t)=0$对任意的$t=45,\cdots,48$都成立. 进一步的由$Q_1$函数的变化特点, 我们断言
\begin{align}\label{eq3-1}
	Q_1(t)=0\,\,\text{对任意的$t\geqslant 45$都成立.}
\end{align}

这样一来, 由于$t=54,\cdots,57$是红灯, 那么$Q_4(t)=Q_2(t)$对$t=54,\cdots,57$都成立. 故
\begin{align*}
	Q_2(54)=38.9,\quad Q_2(55)=38.05,\quad Q_2(56)=37.2,\quad Q_2(57)=36.35
\end{align*}
不难发现其上的线性关系, 这样一来变得到了$Q_2$线性减少部分的函数表达:
\begin{align*}
	Q_2(t)=-0.85t+84.8
\end{align*}
计算发现$Q_2(48+0)=44=Q_2(48)$, 这表明这样得到的$Q_2$是连续的, 满足总假设\ref{zjs3}.从而可以整理有
\begin{align*}
	Q_2(t)=\begin{cases}
		1.2t+0.8,&0\leqslant t\leqslant 36;\\
		44,&36<t\leqslant 48;\\
		-0.85t+84.8,&48<t\leqslant59.
	\end{cases}
\end{align*}

那么现在所有$(Q_4-Q_2)(t)$的值都是可以计算的, 这里不再赘述计算结果.

注意到对任意红灯时间点$t$都有$Q_1(t)=(Q_4-Q_2)(t)$, 且有\eqref{eq3-1}, 那么$Q_3(t)=(Q_4-Q_2)(t)$对任意的$t=49,\cdots,53,58,\cdots,59$都成立.

注意$Q_1(t)|_{t=36,\cdots,39}$部分, 定义$\Delta_1(t):=Q_1(t)-Q_1(t-1)$, 那么
\begin{align*}
	\Delta_1(t)=-4.6,\,\,\text{对任意$t=37,38,39$都成立.}
\end{align*}
(虽然这里$Q_1$的减少没有规定是线性的, 但这里表现出线性规律,) 那不妨假设其在这部分上是线性减少的.

这样一来
\begin{align*}
	Q_1(40)=13.8,\quad Q_1(41)=9.2,\quad Q_1(42)=4.6,\quad Q_1(43)=0.
\end{align*}
同时
\begin{align*}
	Q_3(t)=19,\,\,\text{对任意$t=40,\cdots,44$都成立.}
\end{align*}
这表明这样的假设目前是良好的.

继续在这个假设下推得
\begin{align*}
	Q_1(35)=36.8,\quad Q_1(34)=41.4,\quad Q_1(33)=46.
\end{align*}
这里我们先断言$Q_1(32)=Q_1(31)=46$: 这是由于$Q_1(t)=46$对所有$t=27,\cdots,30$都成立(注意为红灯时间).这样表明$Q_1$的平稳段为$46$.

现在来检验$Q_3(t)|_{t=31,\cdots,35}$:
\begin{align*}
	Q_3(31)=24.8,\quad Q_3(32)=25.6,\quad Q_3(33)=26.4,\quad Q_3(34)=27.2,\quad Q_3(35)=28.
\end{align*}
从而这部分是线性的.

我们继续将$Q_1(27)=46$向上延拓, 令
\begin{align*}
	Q_1(26)=Q_1(25)=Q_1(24)=46.
\end{align*}
我们发现
\begin{align*}
	Q_3(26)=24.2,\quad Q_3(25)=25,\quad Q_3(24)=25.8
\end{align*}
其是线性的. 依据其线性的特点可以写出:
\begin{align*}
	Q_3(23)=26.6,\quad Q_3(22)=27.4
\end{align*}
这样一来
\begin{align*}
	Q_1(23)=51.375,\quad Q_1(22)=55.37<Q_1(21)=58.045
\end{align*}
到这里为止, 完全表明了之前的假设是非常良好的.

现在回到$Q_1$开始无车流量的部分, 假设$Q_1(4)=\cdots=Q_1(8)=0$, 那么
\begin{align*}
	Q_3(4)=29,\quad Q_3(5)=30.5,\quad Q_3(6)=32,\quad Q_3(7)=33.5,\quad Q_3(8)=35
\end{align*}
发现是满足线性的, 故这样的假设合理.

那么现在未知的(尚未处理,确定的)分布只剩$t=13,\cdots,17$时间处的$Q_1$与$Q_3$了.
注意观察到
\begin{align*}
	\max_{t}Q_1(t)=Q_1(19)=59.675
\end{align*}
那么$Q_1,Q_3|_{t=13,\cdots,17}$只要满足以下条件:
\begin{align*}
	\begin{cases}
		32.63=Q_1(12)<Q_1(13)<\cdots<Q_1(17)<Q_1(18)=58.75;\\
		Q_3(13),\cdots,Q_3(17)\,\text{是线性的或者是平稳的.}
	\end{cases}
\end{align*}
由于只有五个待定的数对, 这里不加说明的直接给出一组可行的值如表\ref{answer3-1}:
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{五个待定的数对}
	\vspace{1pt}
	\label{answer3-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{ccccc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.2\textwidth]{$(Q_1,Q_3)|_{t=13}$} & \makebox[0.2\textwidth]{$(Q_1,Q_3)|_{t=14}$} & \makebox[0.2\textwidth]{$(Q_1,Q_3)|_{t=15}$} & \makebox[0.2\textwidth]{$(Q_1,Q_3)|_{t=16}$} & \makebox[0.2\textwidth]{$(Q_1,Q_3)|_{t=17}$} \\
			\midrule
			$(38.675,26)$&$(44.75,25)$& $(49.985,24)$& $(54.32,23)$& $(57.695,22)$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}

注意! 这里的取值不唯一.(虽然前文也有许多取值不唯一的地方, 但都有合理的假设支撑, 如$Q_1(4),\cdots,Q_1(8)$不一定假设为$0$, 只要是一组等差非减列且满足$Q_1(8)<Q_1(9)$即可. 这里本文没有提供假设, 故在这里指出.)

如此, 我们得到了$Q_1$, $Q_2$, $Q_3$所有时间节点处的值, 那么问题三所涉及的$7:30$与$8:30$时刻支路车流量结合\eqref{eq3-tran}式即有表\ref{answer3-3}.
\subsubsection{寻找合适函数}\label{q3.2}
$Q_3$是分段线性, 表达式是直接的:
\begin{align*}
	Q_3(t)=\begin{cases}
		29+1.5(t-4),&4\leqslant t\leqslant 8;\\
		26-(t-13),&13\leqslant t\leqslant 17;\\
		27.4-0.8(t-22),&22\leqslant t\leqslant 26;\\
		24.8+0.8(t-31),&31\leqslant t\leqslant 35;
	\end{cases};\begin{cases}
		19,&40\leqslant t\leqslant 44;\\
		43.15-0.85(t-49),&49\leqslant t\leqslant 53;\\
		35.5-0.85(t-58),&58\leqslant t\leqslant 59;\\
		0,&\text{其他.}
	\end{cases}
\end{align*}

计算$\Delta_1(t),\,t=9,\cdots,24$ 发现$\Delta_1(t)$总体为下降取之, 且过了极值点后$|\Delta_1(t) |$呈现上升趋势. 这表明在$8\leqslant t\leqslant 24$上$Q_1$可以用二次曲线来拟合, 用最小二乘法来计算得到这个二次曲线:$Q_1(t)=at^2+bt+c$. 其中
\begin{align*}
	a=-0.484289215,\quad b=18.58776961,\quad c=-119.5298039.
\end{align*}
本文四舍五入保留两位小数, $Q_1(t)=-0.48t^2+18.59t-119.53$.为了使$Q_1$整体连续
\begin{align*}
	Q_1(t)=0&\quad\text{取得$t\approx 8.14$};\quad
	Q_1(t)=46&\quad\text{取得$t\approx 24.85$}.
\end{align*}
利用\eqref{eq3-tran}, 我们得到
\begin{align*}
	Q_1^\prime(t)=\begin{cases}
		-0.48t^2+17.63t-101.42,&7.14\leqslant t\leqslant 23.85;\\
		46,&23.85<t\leqslant32;\\
		46-4.6(t-32),&32<t\leqslant42;\\
		0,&\text{其他.}
	\end{cases}
\end{align*}

注意, 这里会产生误差与残差. 但表\ref{answer3-3}并不是利用函数得到的, 而是基于\ref{q3.1}的离散分析得到的.
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题三支路车流量函数表达式}
	\vspace{1pt}
	\label{answer3-2}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.45\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.45\textwidth]{支路$2$} \\
			\midrule
			$Q_1^\prime(t)=\begin{cases}
		-0.48t^2+17.63t-101.42,&7.14\leqslant t\leqslant 23.85;\\
		46,&23.85<t\leqslant3 2;\\
		46-4.6(t-32),&32<t\leqslant 42;\\
		0,&\text{其他.}\end{cases}$ & $Q^\prime_2(t)=\begin{cases}
			1.2t+2,&0\leqslant t\leqslant 35;\\
			44,& 35<t\leqslant 47;\\
			-0.85t+83.95,& 47<t\leqslant 59.
		\end{cases}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{c}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.9\textwidth]{支路$3$} \\
			\midrule
			$Q_3(t)=\begin{cases}
		29+1.5(t-4),&4\leqslant t\leqslant 8;\\
		26-(t-13),&13\leqslant t\leqslant 17;\\
		27.4-0.8(t-22),&22\leqslant t\leqslant 26;\\
		24.8+0.8(t-31),&31\leqslant t\leqslant 35;
	\end{cases};\begin{cases}
		19,&40\leqslant t\leqslant 44;\\
		43.15-0.85(t-49),&49\leqslant t\leqslant 53;\\
		35.5-0.85(t-58),&58\leqslant t\leqslant 59;\\
		0,&\text{其他.}
	\end{cases}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}

\end{table}


\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题三支路车流量数值}
	\vspace{1pt}
	\label{answer3-3}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{ccccc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.15\textwidth]{时刻} & \makebox[0.25\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.25\textwidth]{支路$2$} & \makebox[0.25\textwidth]{支路$3$} \\
			\midrule
			$7:30$&$54.32$& $20$& $24$ \\
			$8:30$&$0$& $44$& $0$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{figure tang/wenti3keshihua.png}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题三可视化分解}
	\label{fig:eq3}
\end{figure}
\subsection{问题四的建模与求解}
符号说明与模型处理与问题三一样, 即表\ref{question4-1}与图\ref{fig:eq4-1}.
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题 四 的符号说明}
	\vspace{1pt}
	\label{question4-1}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.4\textwidth]{符号} & \makebox[0.5\textwidth]{含义} \\
			\midrule
			$Q_i^\prime,\quad(i=1,2)$ & 支路$i$上的车流量 \\
			$Q_i,\quad(i=1,2)$ & 源于支路$i$的车在$A3$处的车流量 \\
			$Q_i,\quad(i=3,4)$ & 支路$3$, 主路$4$上的车流量 \\
			$\widetilde{Q_i},\quad(i=3,4)$ & 优化后支路$3$, 主路$4$上的车流量\\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}

\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=0.25\textwidth]{figure tang/3wenmoxing.jpg}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题四的模型处理}
	\label{fig:eq4-1}
\end{figure}
\subsubsection{模型预处理}
那么我们先来断言红灯时间为$t=0,1,7,8,9,10,16,\cdots$, 这数据可视化可以显然得出, 见图\ref{fig:eq4-2}.
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{figure tang/wenti4hongdeng.png}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题四主路$4$车流量可视化}
	\label{fig:eq4-2}
\end{figure}
由于问题四的模型全都简化为了分段线性的, 那么主路上的车流量也应是分段线性的.因此为了消除数据误差所来带的影响, 本文先对各个红路灯时间段内的点做线性回归分析,见图\ref{fig:eq4-3} .(利用最小二乘法得到拟合的线性函数, 然后修正样本点.) 记优化后
\begin{center}
	$t=0,1$只有两个样本点, 不用修正;\\
	 $t=2,\cdots,6$上拟合为$2.7897t+28.519$;\\
	 $t=7,\cdots,10$上拟合为$-0.1283t+26.745$; \\
	 $t=11,\cdots, 15$上拟合为$0.5986t+48.337$; \\
	 $t=16,\cdots,19$上拟合为$3.0017t-9.5769$; \\
	 $t=20,\cdots,24$上拟合为$0.1054t+70.926$; \\
	 $t=25,\cdots,28$上拟合为$0.7238t+34.54$; \\
	 $t=29,\cdots,33$上拟合为$-0.2933t+91.814$; \\
	 $t=34,\cdots,37$上拟合为$0.125t+52.177$; \\
	 $t=38,\cdots,42$上拟合为$-2.8678t+187.33$; \\
	 $t=43,\cdots ,46$上拟合为$-4.0968t+219.39$; \\
	 $t=47,\cdots,51$上拟合为$-3.2932t+226.27$; \\
	 $t=52,\cdots,55$上拟合为$-1.4111t+88.861$; \\
	 $t=56,\cdots,59$上拟合为$-2.3703t+168.51$.
\end{center}
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{figure tang/wenti4yuchuli.png}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题四主路$4$车流量预处理}
	\label{fig:eq4-3}
\end{figure}
\subsubsection{优化后的主路分解}
重点注意红灯时间点处的车流量, 记优化后主路$4$上车流量为$\widetilde{Q_4}$. 

发现$t=0,1,7,\cdots,10$处$\widetilde{Q_4}$增长较缓; $t=16,\cdots,19$上增长较快, 而$Q_2$在$t=0,\cdots,18$上都是线性增长的. 因此可以断言$t=0,1,7,\cdots,10$处$Q_1=0$, $Q_2\approx \widetilde{Q_4}$.采用线性回归来计算$Q_2$:
对$\left.\left(t,\widetilde{Q_4}(t)\right)\right|_{t=0,1,7,\cdots,10}$作线性回归, 得
\begin{align*}
	Q_2(t)=0.5618t+20.787,\quad0\leqslant t\leqslant 18, R^2=0.9067.
\end{align*}
那么也有
\begin{align*}
	Q_2(t)=30.8994,\quad 18<t<37.
\end{align*}

注意$t=43,\cdots,46$ 与$t=52,\cdots,55$部分的减少速率, 从而断言$t=52,\cdots,55$时$Q_1(t)=0$, 那么对$\left.\left(t,\widetilde{Q_4}(t)\right)\right|_{t=36,52,\cdots,55}$作线性回归, 得
\begin{align*}
	Q_2(t)=-1.01t+67.375,\quad 37\leqslant t\leqslant 59,R^2=0.9968.
\end{align*}
检查发现
\begin{align*}
	30.005=Q_2(37)\leqslant Q_2(36)=30.8994
\end{align*}
故这样得到的$Q_2$是合理的.

$Q_2^\prime$利用\eqref{eq3-tran}便可得到.

现计算$Q_1$, 仍注意红灯部分, 发现$Q_1$在$t=16,\cdots,19,25,\cdots,28,34,\cdots,37$上增在$t=43,\cdots,46$上减. 分别对
\begin{align*}
	&\left.\left(t,\widetilde{Q_4}(t)-Q_2(t)\right)\right|_{t=10,16,\cdots,19,25,\cdots,28,34,\cdots,37}\\
	&\left.\left(t,\widetilde{Q_4}(t)-Q_2(t)\right)\right|_{t=43,\cdots,46}
\end{align*}
作线性回归, 得
\begin{align*}
	Q_1(t)|_{\text{增长部分}}&=0.8905t-3.6271,\quad R^2=0.8845;\\
	Q_1(t)|_{\text{减少部分}}&=-3.0868t+152.02,\quad R^2=1.
\end{align*}
这样稍加计算(保证连续), 便得到了
\begin{align*}
	Q_1(t)=\begin{cases}
		0.8905t-3.6271,& 11\leqslant t\leqslant 38.1;\\
		-3.0868t+152.02,& 38.1<t<49;\\
		0,&\text{其他}.
	\end{cases}
\end{align*}

$\widetilde{Q_4}-Q_1(t)-Q_2(t)$得到所有$Q_3$, 但这样得到的$Q_3$很可能不是线性的(但是每一个信号灯区间上是分段线性). 这是由于$Q_1,Q_2$的转折点可能会落在红灯或者绿灯区间中, 而不是在红绿灯转换的点上, 因此我们要对其进行优化, 对每个绿灯区间内的$(t,Q_3(t))|_{\text{绿灯}}$做线性回归拟合, 这样得到了$\widetilde{Q_3}$.
\begin{align*}
	\widetilde{Q_3}(t)=\begin{cases}
		2.2279t+7.732,& 2\leqslant t\leqslant 6;\\
		-0.8537t+31.177, &11\leqslant t\leqslant 15;\\
		-0.7851t+43.654,& 20\leqslant t\leqslant 24;\\
		-1.1838t+64.642, &29\leqslant t\leqslant 33;
	\end{cases}\quad\begin{cases}
		0.3281t+4.8785,&38\leqslant t\leqslant42;\\
		-0.5113t+69.761,&47\leqslant t\leqslant 51;\\
		-1.3603t+101.14,&56\leqslant t\leqslant 59;\\
		0,&\text{其他}.
	\end{cases}
\end{align*}
\begin{figure}[!h]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{figure tang/wenti4keshihua.png}
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题四可视化分解}
	\label{fig:eq4-jl}
\end{figure}

注意, 图\ref{fig:eq4-jl}给出的是$Q_1,Q_2,Q_3$, 这还不是最后结果.其次, 本文这样处理优化后的数据所带来的误差是较小的, 经计算有
\begin{align}\label{t4wc}
	\dfrac{1}{60}\sum_{t=0}^{59}\left[\widetilde{Q_4}(t)-Q_1(t)-Q_2(t)-Q_3(t)\right]\approx 0.09
\end{align}

利用$Q^\prime_1(t)=Q_1(t+1)$, 我们整理有下表:
\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题四支路车流量函数表达式}
	\vspace{1pt}
	\label{answer4-a2}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.45\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.45\textwidth]{支路$2$} \\
			\midrule
			$Q_1^\prime(t)=\begin{cases}
		0.8905t-2.7366,&10\leqslant t\leqslant 37.1;\\
		-3.0868t+121.152,&37.1<t< 48;\\
		0,&\text{其他.}\end{cases}$ & $Q^\prime_2(t)=\begin{cases}
			0.5618t+21.3488,&0\leqslant t\leqslant 17;\\
			30.899,& 17<t< 36;\\
			-1.01t+66.365,& 36\leqslant t\leqslant 59.
		\end{cases}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{c}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.9\textwidth]{支路$3$} \\
			\midrule
			$\widetilde{Q_3}(t)=\begin{cases}
		2.2279t+7.732,& 2\leqslant t\leqslant 6;\\
		-0.8537t+31.177, &11\leqslant t\leqslant 15;\\
		-0.7851t+43.654,& 20\leqslant t\leqslant 24;\\
		-1.1838t+64.642, &29\leqslant t\leqslant 33;
	\end{cases}\quad\begin{cases}
		0.3281t+4.8785,&38\leqslant t\leqslant42;\\
		-0.5113t+69.761,&47\leqslant t\leqslant 51;\\
		-1.3603t+101.14,&56\leqslant t\leqslant 59;\\
		0,&\text{其他}.
	\end{cases}$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}

\end{table}


\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题四支路车流量数值}
	\vspace{1pt}
	\label{answer4-a3}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{ccccc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.15\textwidth]{时刻} & \makebox[0.25\textwidth]{支路$1$} & \makebox[0.25\textwidth]{支路$2$} & \makebox[0.25\textwidth]{支路$3$} \\
			\midrule
			$7:30$&$10.6208$& $29.7758$& $18.3716$ \\
			$8:30$&$10.0272$& $20.915$& $0$ \\
			
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}













\subsection{问题五的建模与求解}
回顾问题二与问题三的求解过程, 给出确定关键函数所需的关键时间点(例如问题二中关键的函数便是周期函数). 随后对其余线性部分补充所需的时间点, 且补充的时间点应紧靠关键时间点, 这样一来边等达到最少观测时间. 这里对于问题二(resp.三), 都沿用问题二(resp.三)的记号. 
\subsubsection{问题二的最少观测时刻}
首先, 在问题二求解过程中, 周期函数的八个转折点(即总数据突然大幅变化的八个区间)是重要的. 前文利用他们判断出了最小周期, 同时也对后面确定$t_0$起到不可或缺的作用, 因此
\begin{align*}
	t\in\left\{
	\begin{tabular}{l}
5,6,13,14,17,18,25,26,\\[0.2cm]
33,34,41,42,45,46,53,54
\end{tabular}
\right\}\text{是关键时间点.}
\end{align*}
其次, 在断言$t_0=17$时还需要$t=19$的数据, 这里不再需要更多是应为可以利用关键时间点来做对比, 这一方法在问题二中已经给出过了.

为一开始的线性增长提供数据, 我们需要补充$t=3,4$的数据.

为确定$Q_0$的第二个转折点(即由稳定转变为线性增长的时间点), 并确定线性增长的快慢系数, 我们说$t=38,39$也是需要的.补充$t=55$将用来检验这个线性关系的合理性.

注意:$t\in[26,33]$, $t\in [34,38]$内的数据我们利用端点处的值来估计.(其实可以再在内部取点以增加准确性.)

这样一来问题二至少需要在如下时间段内记录车流量数据:
\begin{align*}
	\bigcup\left\{
	\begin{tabular}{l}
		[7:04,7:12],[7:24,7:28],[7:32,7:38],[7:48,7:52],\\[0.2cm]
		[8:04,8:08],[8:14,8:18],[8:20,8:24],[8:28,8:32],[8:44,8:50]
	\end{tabular}
	\right\}
\end{align*}
\subsubsection{问题三的最少观测时刻}
首先要明确的一点是, 所有绿灯处都至少要有两个时间点, 因为机制在其他支路已知的情况下也至少结合支路三是线性的也至少需要两个时间点才能确定其上的车流量.

现在回顾问题三求解的过程, 发现第一个红灯处提供了$Q_2$增长的部分(包括速度与起始值). 结合绿灯我们选取$t\in[2,5]$.

$Q_1$是在第二个红灯处开始增长的, 故选取$t\in[12,14]$为关键时间点, 结合$t\in[19,21]$可利用二次曲线回归拟合得到一个先增后减的函数, 这一方法在问题二种已经给出过了.(注意, $t\in[19,21]$给出了从增转变为减的时间点, 故这样选取.)

随后第四个红灯也是十分重要的, 结合$Q_2$的规律, 可以推出$Q_1$在这里达到平衡. 第三个绿灯则提供了$Q_1$合适开始平衡的, 故选取$t\in [22,23]$与 $t\in [29,30]$.

注意, 第四个绿灯期间主路上的流量是先增后见, 故这里给出了$Q_1$开始减少的时间点, 选取$t\in [32,34]$.

由于$Q_2$的增长与减少的时间是已知的, 故$t\in [56,59]$给出了下降率.
这样一来$t\in [50,51]$则给出了$Q_3$在这段绿灯上的规律.

断言$t\in [42,44]$也是重要的, 因为其给出了$Q_1$下降至$0$的时刻(怎么下降的不用知道, 也不能知道, 因为我们并不知道其是否线性, 正如第三问种的差异讨论一样).同时也给出了$Q_3$在这段绿灯上的规律.

这样一来, 问题三至少需要在如下时间段内有记录车流量数据:
\begin{align*}
	\bigcup\left\{
	\begin{tabular}{l}
		[7:02,7:10],[7:22,7:28],[7:36,7:46],[7:56,8:00],\\[0.2cm]
		[8:02,8:08],[8:22,8:28],[8:38,8:42],[8:50,8:58].
	\end{tabular}
	\right\}
\end{align*}

于是得到了表\ref{q5ans}

\begin{table}[!htbp]
	\centering
	\setlength{\abovecaptionskip}{3pt}%caption与表格之间的距离
	\caption{问题五的结果}
	\vspace{1pt}
	\label{q5ans}
	\resizebox{\textwidth}{!}{
		\begin{tabular}{cc}
			\toprule[1.5pt]
			\makebox[0.1\textwidth]{问题} & \makebox[0.8\textwidth]{观测时刻} \\
			\midrule
			问题$2$ & $\bigcup\left\{
	\begin{tabular}{l}
		[7:04,7:12],[7:24,7:28],[7:32,7:38],[7:48,7:52],\\[0.2cm]
		[8:04,8:08],[8:14,8:18],[8:20,8:24],[8:28,8:32],[8:44,8:50]
	\end{tabular}
	\right\}$ \\[0.5cm]
			问题$3$ & $\bigcup\left\{
	\begin{tabular}{l}
		[7:02,7:10],[7:22,7:28],[7:36,7:46],[7:56,8:00],\\[0.2cm]
		[8:02,8:08],[8:22,8:28],[8:38,8:42],[8:50,8:58].
	\end{tabular}
	\right\}$ \\
						
			\bottomrule[1.5pt]
		\end{tabular}
	}
\end{table}






